Alexander Melnikov genoot zijn opleiding aan het conservatorium in Moskou bij Lev Naumov. Van grote muzikale invloed was ook Svjatoslav Richter: deze legendarische pianist nodigde zijn jonge collega uit voor prestigieuze muziekfestivals in Rusland en Frankrijk. Ondertussen groeide Alexander Melnikov uit tot een veelgevraagd artiest.
Als solist werkte hij met bijvoorbeeld het Russisch Nationaal Orkest, het Gewandhausorchester Leipzig, het BBC Philharmonic Orchestra en het Koninklijk Concertgebouworkest. De pianist is vaste duopartner van violiste Isabelle Faust; voor hun complete opname van de Sonates voor viool en piano van Beethoven kregen ze zowel een Gramophone Award als een ECHO Klassik Preis.
Alexander Melnikovs opname van de 24 preludes en fuga’s van Sjostakovitsj werd meerdere keren bekroond en door BBC Music Magazine opgenomen in het overzicht ‘50 Greatest Recordings of All Time’. Ook bij het Concertgebouwdebuut van musicAeterna en Teodor Currentzis op 13 februari 2011 was Alexander Melnikov de solist, in de Pianoconcerten nr. 20 en nr. 23 van Mozart.
De afgelopen jaren trad Alexander Melnikov in Het Concertgebouw onder meer op in Beethovens ‘Kaiserkonzert’ met het Residentie Orkest in september 2013, in recital met bariton Georg Nigl in februari 2015 en in een pianotrio met Jean-Guihen Queyras en Isabelle Faust in april 2016.